如图1，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点．AB=4，且将△AEF绕点A逆时针旋转．（1）如图2，当△AEF绕点A逆时针旋转90°时，连结DF，BE，延长BE交DF于点P，求BP的长．（2）如图3，在△AEF绕点A

Question

如图1，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点．AB=4，且将△AEF绕点A逆时针旋转．
（1）如图2，当△AEF绕点A逆时针旋转90°时，连结DF，BE，延长BE交DF于点P，求BP的长．
（2）如图3，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，直线BE，DF相交于点P，则线段BE，DF有怎样的关系？利用图3的位置加以证明．
（3）如图4，当△AEF旋转到图4位置时，△AED与△AFB的面积关系如何？利用图4证明．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=4，∠DAB=90°，
如图1，∵E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点，
∴AE=AF=2，
由旋转得：图2中的AE=AF=2，
在△AFD和△AEB中，
∵

AE=AF

∠EAB=∠FAD=90°

AB=AD

，
∴△AFD≌△AEB（SAS），
∴∠ADF=∠ABE，
∵∠AEB=∠DEP，
∴∠DPE=∠DAB=90°，
在Rt△AEB中，AE=2，AB=4，
由勾股定理得：BE=√(22+42)=2√(5)，
cos∠ABE=(BP)/(BF)=(AB)/(BE)，
∴(BP)/(2+4)=(4)/(2√(5))，
BP=(12√(5))/(5)；
（2）BE=DF且BE⊥DF，
理由如下：
由旋转得：∠EAB=∠FAD，
∵AE=AF，AB=AD，
∴△AEB≌△AFD，
∴BE=DF，∠FDA=∠ABE，
∵∠PMD=∠AMB，
∴∠DPM=∠MAB=90°，
∴BP⊥DF，即BE⊥DF；
（3）如图4，△AED与△AFB的面积相等，理由是：
过F作FH⊥AB，交BA延长线于H，过E作EG⊥AD于G，
∵∠EAF=90°，
∴∠EAH+∠FAH=90°，
∵∠HAD=90°，
∴∠EAH+∠EAG=90°，
∴∠FAH=∠EAG，
∵AE=AF，∠EGA=∠AHF=90°，
∴△AEG≌△AFH，
∴EG=FH，
∵S_△AED=(1)/(2)AD•EG，
S_△ABF=(1)/(2)AB•FH，
∵AB=AD，
∴S_△AED=S_△AFB．