若过点A（0，1）和B（4，m），并且与x轴相切的圆只有一个，求实数m的值和这圆的方程．

Question

若过点A（0，1）和B（4，m），并且与x轴相切的圆只有一个，求实数m的值和这圆的方程．

Answer 1

∵圆过点A（0，1）和B（4，m），并且与x轴相切，
∴圆心必在AB的垂直平分线上，且圆心到A，B及x轴的距离相等，
设圆心为（a，b），则有：
a²+（b-1）²=b²  ①
（4-a）²+（m-b）²=b²  ②
联立①②消去b得：（1-m）a²-8a+m²-m+16=0  ③
∵过点A（0，1）和B（4，m），并且与x轴相切的圆只有一个，
∴方程③有唯一解，
当1-m=0，即m=1时方程有唯一解，把m=1代入③，得a=2，
把a=2代入①，得b=(5)/(2)．
∴圆的方程为：（x-2）²+(y−(5)/(2))2=((5)/(2))2；
当1-m≠0时，需△=（-8）²-4（1-m）（m²-m+16）=4m³-8m²+68m=0，
解得：m=0．
把m=0代入③，得a=4，
把a=4代入①，得b＝(17)/(2)．
∴圆的方程为：（x-4）²+(y−(17)/(2))2=((17)/(2))2．
综上：当m=0时，相对应的圆的方程为：（x-4）²+(y−(17)/(2))2=((17)/(2))2；
当m=1时，相对应的圆的方程为：（x-2）²+(y−(5)/(2))2=((5)/(2))2．