如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L．导轨上端接有一平行板电容器，电容为C．导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一

Question

如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L．导轨上端接有一平行板电容器，电容为C．导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g．忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
（2）若金属棒下滑过程中某时刻加速度大小为a，求此时金属棒受到的磁场的作用力大小；
（3）金属棒的速度大小随时间变化的关系．

Answer 1

（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为：E=BLv 
平行板电容器两极板之间的电势差为：U=E
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有：C=(Q)/(U)
得Q=CBLv
（2）设此时通过金属棒的电流为i，金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为：
F=BiL
设在时间间隔（t，t+△t）内流经金属棒的电荷量为△Q，按定义有：i=(△Q)/(△t)
△Q也是平行板电容器极板在时间间隔（t，t+△t）内增加的电荷量，由（1）题得：
△Q=CBL△v 
式中△v为金属棒的速度变化量，按定义有a=(△v)/(△t)  
金属棒受到的磁场的作用力F=CB²L²a    
（3）金属棒受到的摩擦力的方向斜向上，大小为：F_t=μF_N
式中F _N是金属棒对导轨的正压力的大小，则：F_N=mgcosθ
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，其大小为a，根据牛顿第二定律有：mgsinθ-F-F_t=ma
得：a＝(mgsinθ−μmgcosθ)/(m+B2L2C)
由题设可知，金属棒做初速度为0的匀加速直线运动．t时刻金属棒的速度大小为：v＝at＝(msinθ−μmcosθ)/(m+B2L2C)•gt
答：（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系是Q=CBLv；
（2）若金属棒下滑过程中某时刻加速度大小为a，此时金属棒受到的磁场的作用力大小是CB²L²a；
（3）金属棒的速度大小随时间变化的关系是v＝(msinθ−μmcosθ)/(m+B2L2C)•gt．