如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=2；正确的是（）A.4个B.3个C.2个D.1个

Question

如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=

√(2)；正确的是（　　）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

Answer 1

如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴(AE)/(BC)=(AF)/(CF)，
∵AE=(1)/(2)AD=(1)/(2)BC，
∴(AF)/(CF)=(1)/(2)，
∴CF=2AF，故②正确；

∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=(1)/(2)BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；

设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 (b)/(a)=(2a)/(b)，即b=√(2)a，
∴tan∠CAD=(CD)/(AD)=(b)/(2a)=(√(2))/(2)．故④错误；
故选B．