有12个小球,其中一个与另外11个重量不同,除此之外所有的小球没有差别.现在请你把那个重量不同的小球找出来.给你一架天平,但是没有砝码；而且,你只能使用它三次.

Question

有12个小球,其中一个与另外11个重量不同,除此之外所有的小球没有差别.现在请你把那个重量不同的小球找出来.
给你一架天平,但是没有砝码；而且,你只能使用它三次.

Answer 1

首先将12个球依次标号为：①、②、③、……、⑩、(11)、(12),并分成三组①、②、③、④；⑤、⑥、⑦、⑧；⑨、⑩、(11)、(12)．
先称①、②、③、④｜⑤、⑥、⑦、⑧．
(1)①＋②＋③＋④=⑤＋⑥＋⑦＋⑧．
再称⑥、⑦、⑧｜⑨、⑩、(11)．
(a)若⑥＋⑦+⑧=⑨+⑩+(11),则该球是(12)．
第3次称(11)｜(12),判断该球是轻是重．
(b)若⑥＋⑦＋⑧＞⑨＋⑩+(11),则该球在⑨＋⑩+(11)中．
称⑨｜⑩,若等,则(11)为该球且轻；若不等,则轻的为该球．
(c)若⑥+⑦+⑧＜⑨＋⑩+(11),推理过程与(b)同．
(2)①＋②+③+④≠⑤＋⑥＋⑦＋⑧．
不妨设①＋②＋③＋④＞⑤＋⑥＋⑦+⑧,反之亦然．
称①、②、⑤｜③、④、⑥．
(a)若等,则该球在⑦、⑧中且轻,再称⑦｜⑧,轻者为该球．
(b)若不等,则该球在①～⑥中．
不妨设①＋②+⑤＞③＋④＋⑥,反之亦然．
称②、③、⑤｜①、④、⑦．
(i)若等,则①～⑤为同样的球,故⑥为该球且轻．
(ii)若②＋③＋⑤＞①＋④＋⑦．
若该球重,则该球在｛②、③、⑤｝∩｛①、②、⑤｝∩｛①、②、③、④｝=｛②｝．
若该球轻,则该球在｛③、④、⑥｝∩｛①、④、⑦｝∩｛⑤、⑥、⑦、⑧｝＝
(iii)若②＋③＋⑤＜①+④+⑦,则与(ii)类同．