求下列极限X趋向于0求（根号（1+XsinX）-cosX）/sin^2（X/2）

Question

求下列极限
X趋向于0
求（根号（1+XsinX）-cosX）/sin^2（X/2）

Answer 1

这个用电脑写太痛苦了~
首先,我们要看到( (xsinx)'=sinx+xcosx
lim(x->0)[(1+xsinx)^(1/2)-cosx]/sin^2x/2
0/0型,可以用洛必达法则
分子求导=(1/2)(1+xsinx)^(-1/2)*(sinx+xcosx)+sinx
分母求导=2sin(x/2)*cos(x/2)*(1/2)=(1/2)sinx
所以是lim(x->0)[(1+xsinx)^(-1/2)+1]+2(1+xsinx)^(-1/2)*xcosx/sinx
=2+2*lim(x->0)(1+xsinx)^(-1/2)*xcosx/sinx
分子求导=(-1/2)(1+xsinx)^(-1/2)*(sinx+xcosx)*xcosx+(1+xsinx)^(-1/2)*(cosx-xsinx)
分母求导=cosx
所以lim(x->0)(1+xsinx)^(-1/2)*xcosx/sinx=(0+1*1)/1=1
所以整个极限=2+2*1=4