假设随机变量X的绝对值不大于1；P{X=-1}=18，P{X=1}=14；在事件{-1＜X＜1}出现的条件下，X在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}．

Question

假设随机变量X的绝对值不大于1；P{X=-1}=(1)/(8)，P{X=1}=(1)/(4)；在事件{-1＜X＜1}出现的条件下，X在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}．

Answer 1

有条件可知，当x＜-1时，F（x）=0，F（-1）=(1)/(8)
P-1＜x＜1=1-(1)/(8)-(1)/(4)=(1)/(8)
易见，在X的值属于（-1，1）的条件下，事件{-1＜X＜1}的条件概率为
P-1＜X＜x|-1＜X＜1=(x+1)/(2)
于是，对于-1＜x＜1有
P{-1＜X≤x}=P{-1＜X＜x，-1＜X＜1}=P{-1＜X＜1}•P{-1＜X≤x|-1＜X＜1}=(5x+5)/(16)
F(x)=PX≤-1+P-1＜X≤x=(1)/(8)×(5x+5)/(16)=(5x+7)/(16)
对于x≥1，有F（x）=1
从而
F(x)=

0 ，            若 x＜-1

(5x+7)/(16) ，     若 -1≤x＜1

1，             若  x≥1