若函数f(x)=lnx+ax+1x在[1，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A.(-∞，0]∪[14，+∞)B.(-∞，-14]∪[0，+∞)C.[-14，0]D.（-∞，1]

Question

若函数f(x)=lnx+ax+

(1)/(x)在[1，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（　　）

A. (-∞，0]∪[

(1)/(4)，+∞)

B. (-∞，-

(1)/(4)]∪[0，+∞)

C. [-

(1)/(4)，0]

D. （-∞，1]

Answer 1

由题意得，f′（x）=(1)/(x)+a-(1)/(x2)，
因为f(x)=lnx+ax+(1)/(x)在[1，+∞）上是单调函数，
所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
①当f′（x）≥0时，则(1)/(x)+a-(1)/(x2)≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥(1)/(x2)-(1)/(x)，设g（x）=(1)/(x2)-(1)/(x)=((1)/(x)-(1)/(2))2-(1)/(4)，
因为x∈[1，+∞），所以(1)/(x)∈（0，1]，
当(1)/(x)=1时，g（x）取到最大值是：0，
所以a≥0，
②当f′（x）≤0时，则(1)/(x)+a-(1)/(x2)≤0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤(1)/(x2)-(1)/(x)，设g（x）=(1)/(x2)-(1)/(x)=((1)/(x)-(1)/(2))2-(1)/(4)，
因为x∈[1，+∞），所以(1)/(x)∈（0，1]，
当(1)/(x)=(1)/(2)时，g（x）取到最大值是：-(1)/(4)，
所以a≤-(1)/(4)，
综上可得，a≤-(1)/(4)或a≥0，
所以数a的取值范围是（-∞，-(1)/(4)]∪[0，+∞），
故选：B．