已知函数f(X)=(1+X)e＾(-2X),g(x)=ax+(X＾3)/2+1+2XcosX,当X∈[0,1]时(1)求证：1-X≤f(x)≤1/(1+X)(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围第二问中,如何证明出1-(X＾2)/2≤cosX≤1-(X＾2)/4

Question

已知函数f(X)=(1+X)e＾(-2X),g(x)=ax+(X＾3)/2+1+2XcosX,当X∈[0,1]时
(1)求证：1-X≤f(x)≤1/(1+X)
(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围
第二问中,如何证明出1-(X＾2)/2≤cosX≤1-(X＾2)/4

Answer 1

记F(x)＝cos x－1＋x＾2/2,
则F′(x)＝－sin x＋x.
F′′(x)＝－cos x＋1,
当x∈(0,1)时,F′′(x)＞0,于是F′(x)在[0,1]上是增函数,
因此当x∈(0,1)时,F′(x)＞F′(0)＝0,
从而F(x)在[0,1]上是增函数．
因此F(x)≥F(0)＝0,
所以当x∈[0,1]时,1-(X＾2)/2≤cos x.
记F(x)＝cos x－1＋x＾2/4,
则F′(x)＝－sin x＋x/2.
F′′(x)＝－cos x＋1/2,
当x≤pi/6时,F''(x)≤0,当x=pi/6时,F''(x)=0,当x≥pi/6时,F''(x)≥0,
所以F′(x)先减后增,最大值在端点处取得,
F′(0)=0,F′(1)=-sin1+1/2