求证limx->0sinx/x=1求证：limsinx/x=1x->0

Question

求证limx->0sinx/x=1
求证：
lim sinx/x=1
x->0

Answer 1

方法一：
级数展开：
sinx = x - x^3/3!+ x^5/5!- x^7/7!+ x^9/9!.
显然,从第二项开始都是 x 的高阶无穷小.
所以,
lim sinx/x=1
x->0
方法二：
另外,用罗必塔法则,上下分别求导,再求极限.
lim sinx/x = lim cosx/1 = 1 (x->0)
方法三：
根据导数的定义,(sin0)' = lim (sinx - sin0)/x = lim sinx/x
也就是说,所求为 sinx 在 0 点的导数.于是,(sin0)' = cos0 = 1
lim sinx/x = 1