计算级数x+4x^2+9x^3+.+(n^2)x^n想了很久,不知道如何下手,请指教,

Question

计算级数x+4x^2+9x^3+.+(n^2)x^n
想了很久,不知道如何下手,请指教,

Answer 1

有个笨办法：
令f=x+4x^2+9x^3+..+(n^2)x^n
求其积分,其原函数：
F=x^2/2+2x^3+3x^4+...+nx^(n+1)+C
xF= x^3/2+2x^4+...+(n-1)x^(n+1)+nx^(n+2)+Cx
相减：(1-x)F=x^2/2+3/2 x^3+x^4+..+x^(n+1)-nx^(n+2)-Cx
=x^2/2+3/2x^3+[x^4+...+x^(n+1)]-Cx
=x^2+3/2x^3+x^4[1-x^(n-2)]/(1-x)-Cx
所以F =(x^2+3/2x^3-Cx)/(1-x)+x^4[1-x^(n-2)]/(1-x)^2
由此再求导,即得出f,对比求得C即可.