化f（x1，x2，x3）=2x1x2-6x2x3+2x1x3为标准型，并且写出变换矩阵，问这个二次型是否正定？

Question

化f（x₁，x₂，x₃）=2x₁x₂-6x₂x₃+2x₁x₃为标准型，并且写出变换矩阵，问这个二次型是否正定？

Answer 1

做非退化线性变换

x1＝y1+y2

x2＝y1−y2

x3＝y3

，
则f（x₁，x₂，x₃）=2

y

2 1

−2

y

3 2

−4y1y3+8y2y3=2(y1−y3)2−

2y

3 2

+8y2y3-2

y

2 3

．
再令

z1＝y1−y3

z2＝y2

z3＝y3

，即

作业帮用户 2017-10-21 举报

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问题解析

首先利用配方法将其化为标准型；利用正定矩阵的概念即可判断二次型是否正定．

名师点评

本题考点：

判断正定的充要条件；用配方法化二次型为标准形．

考点点评：

本题考查了利用配方法将二次型化为标准形的方法，以及正定二次型的概念，是一个基础型题目，难度系数不大，需要仔细计算．本题也可以利用正交变换法将二次型化为标准形．

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