如图1，直线y=-2x+4交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=kx（x<0）于C点，△AOC的面积为6．（1）求双曲线的解析式．（2）如图2，D为双曲线y=kx（x<0）上一点，连结CD，将线段CD绕点D顺时针旋转

Question

如图1，直线y=-2x+4交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=(k)/(x)（x<0）于C点，△AOC的面积为6．
（1）求双曲线的解析式．
（2）如图2，D为双曲线y=(k)/(x)（x<0）上一点，连结CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得线段DE，点E恰好落在x轴上，求点E的坐标．

Answer 1

（1）过C作CH⊥x轴于H，
直线y=-2x+4中，令y=0，则x=2，
∴A（2，0），即AO=2，
∵△AOC的面积为6，
∴(1)/(2)×AO×CH=6，
∴(1)/(2)×2×CH=6，
∴CH=6，即点C的纵坐标为6，
直线y=-2x+4中，当y=6时，6=-2x+4，
解得x=-1，
∴C（-1，6），
代入y=(k)/(x)（x<0）可得，k=-1×6=-6，
∴双曲线的解析式为y=-(6)/(x)；

（2）过点D作DF⊥x轴于F，过C作CG⊥DF于G，则∠G=∠DFE=90°，
由旋转可得，CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠CDG=∠DEF，
在△DCG和△EDF中，

∠CDG=∠DEF

∠G=∠DFE

CD=DE

，
∴△DCG≌△EDF（AAS），
∴CG=DF，DG=EF，
设D（a，-(6)/(a)），则DF=-(6)/(a)，FO=-a，
∵C（-1，6），
∴CG=-1-a，
∴DF=-1-a，
∴-(6)/(a)=-1-a，
解得a=-3或a=2（舍去），
∴DF=-1+3=2，DG=GF-DF=6-2=4，
∴EF=4，
又∵FO=3，
∴OE=4-3=1，
∴E（1，0）．