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已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一个焦点是F2(2,0)且b=根号3a.(1)求双曲线C的方程(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1),当直线l与双曲线C的右支相交雨A,B不同的两点时,求
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已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1 (a>0,b>0)的一个焦点是F2(2,0)且b=根号3a.(1)求双曲线C的方程 (2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1),当直线l与双曲线C的右支相交雨A,B不同的两点时,求实数m的取值范围:并证明AB重点M在曲线3(x-1)^2-y^2=3上(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支相交于A,B两点.问是否有实数m,使角AOB为锐角?若存在,求出m的范围,若不存在,说明理由
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答案和解析
(1)c=2c^2=a^2+b^2
∴4=a^2+3a^2∴a^2=1,b^2=3,∴双曲线为 x^2-y^2/3=1.
(2)l:m(x-2)+y=0由 {y=-mx+2m
x^2-y^2/3=1
得(3-m^2)x^2+4m^2x-4m^2-3=0
由△>0得4m^4+(3-m^2)(4m^2+3)>0
12m^2+9-3m^2>0即m^2+1>0恒成立
又{x1+x2>0
x1•x2>0
4m^2/(m^2-3)>0
(4m^2+3)/(m^2-3)>0
∴m^2>3∴ m∈(-∞,-根号3)∪(根号3,+∞)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则 (x1+x2)/2=(2m^2/m^2-3)(y1+y2)/2=-2m^3/(m^2-3)+2m=-6m(m^2-3)
∴ AB中点M(2m2m2-3,-6mm2-3)
∵ 3[(2m^2)/(m^2-3)-1]^2-36m^2/[(m^2-3)^2]=3
∴M在曲线3(x-1)^2-y^2=3上.
(3)A(x1,y1),B(x2,y2),设存在实数m,使∠AOB为锐角,则OA→•OB→>0
∴x1x2+y1y2>0
因为y1y2=(-mx1+2m)(-mx2+2m)=m^2x1x2-2m^2(x1+x2)+4m^2
∴(1+m^2)x1x2-2m^2(x1+x2)+4m^2>0
∴(1+m^2)(4m^2+3)-8m^4+4m^2(m^2-3)>0即7m^2+3-12m^2>0
∴ m^2<35,与m^2>3矛盾
∴不存在
∴4=a^2+3a^2∴a^2=1,b^2=3,∴双曲线为 x^2-y^2/3=1.
(2)l:m(x-2)+y=0由 {y=-mx+2m
x^2-y^2/3=1
得(3-m^2)x^2+4m^2x-4m^2-3=0
由△>0得4m^4+(3-m^2)(4m^2+3)>0
12m^2+9-3m^2>0即m^2+1>0恒成立
又{x1+x2>0
x1•x2>0
4m^2/(m^2-3)>0
(4m^2+3)/(m^2-3)>0
∴m^2>3∴ m∈(-∞,-根号3)∪(根号3,+∞)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则 (x1+x2)/2=(2m^2/m^2-3)(y1+y2)/2=-2m^3/(m^2-3)+2m=-6m(m^2-3)
∴ AB中点M(2m2m2-3,-6mm2-3)
∵ 3[(2m^2)/(m^2-3)-1]^2-36m^2/[(m^2-3)^2]=3
∴M在曲线3(x-1)^2-y^2=3上.
(3)A(x1,y1),B(x2,y2),设存在实数m,使∠AOB为锐角,则OA→•OB→>0
∴x1x2+y1y2>0
因为y1y2=(-mx1+2m)(-mx2+2m)=m^2x1x2-2m^2(x1+x2)+4m^2
∴(1+m^2)x1x2-2m^2(x1+x2)+4m^2>0
∴(1+m^2)(4m^2+3)-8m^4+4m^2(m^2-3)>0即7m^2+3-12m^2>0
∴ m^2<35,与m^2>3矛盾
∴不存在
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