过抛物线x^2=4y的焦点F作一直线交抛物线于A,B两点则4|AF|+9|BF|的最小值

Question

过抛物线x^2=4y的焦点F作一直线交抛物线于A,B两点则4|AF|+9|BF|的最小值

Answer 1

答：
抛物线x^2=4y的焦点F（0,1）,准线y=-1
令直线方程为y-1=kx,y=kx+1代入抛物线方程得：
x^2-4kx-4=0
△=16k^2+16>0恒成立,直线和抛物线恒有两个不同的交点A和B
令A（x1,kx1+1）,B（x2,kx2+1)
x1+x2=4k
x1*x2=-4
|AF|=y1+1=kx1+2
|BF|=y2+1=kx2+2
原式=4|AF|+9|BF|=4kx1+8+9kx2+18
=(4x1+9x2)(x1+x2)/4+26
=(4x1^2+9x2^2+13x1*x2)/4+26
=[4x1^2+9(-4/x1)^2-4*13]/4+26
=x1^2+36/x1^2+13
>=2√[(x1^2)*(36/x1^2)]+13
=2*6+13
=25 当且仅当x1=√6或者x1=-√6时取得最小值.

所以：4|AF|+9|BF|最小值为25