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已知x,y,z∈R,xy+yz+zx=-1,x2+5y2+8z2≤4,求x
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已知x,y,z∈R,xy+yz+zx=-1,x2+5y2+8z2≤4,求x
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答案和解析
∵(x²+5y²+8z²)-4
=(x²+5y²+8z²)+4(xy+yz+zx)
=x²+2x(2y+2z)+4y²+8yz+4z²+y²-4yz+4z²
=(x+2y+2z)²+(y-2z)²≤0
∴x+2y+2z=0,y-2z=0
∴y=-x/3,z=-x/6
代入xy+yz+zx=-1,得
x²=9/4
∴x=±3/2
=(x²+5y²+8z²)+4(xy+yz+zx)
=x²+2x(2y+2z)+4y²+8yz+4z²+y²-4yz+4z²
=(x+2y+2z)²+(y-2z)²≤0
∴x+2y+2z=0,y-2z=0
∴y=-x/3,z=-x/6
代入xy+yz+zx=-1,得
x²=9/4
∴x=±3/2
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