求解y^2+3x-6y+9的二重积分区域d为x^2+y^2

Question

求解y^2+3x-6y+9的二重积分 区域d为x^2+y^2

Answer 1

利用奇偶对称性可知,∫∫(y^2+3x-6y+9)dxdy=∫∫(y^2+9)dxdy=∫∫(y^2)dxdy+9*∫∫dxdy
后一项=9πr^2
前一项令x=acosθ,y=asinθ则
∫∫(y^2)dxdy=∫∫(a^3*sin^2(θ))dadθ=∫[0,2π]sin^2(θ)dθ∫[0,r]a^3da=∫[0,2π](1-cos(2θ))/2dθ*r^4/4
=πr^4/4
所以原式=πr^4/4+9πr^2
[ , ]表示[下限,上限]
可能运算时出错,方法应该是对的,仅供参考.