已知圆C：x^2+y^2+2x-6y+1=0内一定点A（1,2）,P、Q为圆上的动点（1）若P、Q两点关于过定点A的直线L对称求直线L的方程（2）若向量AP*向量AQ=0,求线段PQ中点M的轨迹方程

Question

已知圆C：x^2+y^2+2x-6y+1=0内一定点A（1,2）,P、Q为圆上的动点（1）若P、Q两点关于过定点A的直线L对称
求直线L的方程（2）若向量AP *向量AQ=0,求线段PQ中点M的轨迹方程

Answer 1

（1）圆的方程为(x+1)^2+(y-3)^2=9,圆心为O(-1,3)
P、Q在圆上,且关于A对称,则OA⊥PQ
直线L过O、A两点：y=kx+b,
过A点：2=k+b
过O点：3=-k+b
解得b=5,k=-1/2
直线L：y=-1/2*x+5
（2）设P(x1,y1),Q(x2,y2).M(x,y).
AP=(x1-1,y1-2) AQ=(x2-1,y2-2)
因为向量AP*AQ=0
x1*x2-(x1+x2)+1+y1*y2-2(y1+y2)+4=0
（x1+x2)+2(y1+y2)-5= x1x2+y1y2
2x+4y-5=x1x2+y1y2 (1)
带入点得：
x1^2+y1^2+2x1-6y1+1=0 (2)
x2^2+y2^2+2x2-6y2+1=0 (3)
(2)+(3)化简得：(x1+x2)^2+(y1+y2)^2+2(x1+x2)-6(y1+y2)+2-2x1x2-2y1y2=0
4x^2+4y^2+4x-12y+2=2(x1x2+y1y2)
由（1）和上式得：4x^2+4y^2+4x-12y+2=4x+8y-10
x^2+y^2-5y+3=0
所以轨迹方程：x^2+y^2-5y+3=0