抛物线x^2=8y.P为其上任意一点.N是P到X轴上的射影.求AP+PN的最小值

Question

抛物线x^2=8y.P为其上任意一点.N是P到X轴上的射影.求AP+PN的最小值

Answer 1

由题意知抛物线焦点在y轴上,且2p=8,p=4
则：焦点F坐标为(0,2),准线方程为：y=-2
又由抛物线定义知：点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离
则：|PF|=|PN|+p/2=|PN|+2,即：|PN|=|PF|-2
所以：|AP|+|PN|=|AP|+|PF|-2
要求|AP|+|PN|的最小值,就是求|AP|+|PF|的最小值
易知当点A,P,F三点共线时,|AP|+|PF|=|AF|取得最小值,
由两点间距离公式或勾股定理得：|AF|=2√2
所以：|AP|+|PN|的最小值为2√2-2