设x,y满足条件x-y+2大于或等于0,x+y-4大于或等于0,2x-y-5小于或等于0,求z=x^2+y^2-10y+25的最小值

Question

设x,y满足条件x-y+2大于或等于0,x+y-4大于或等于0,2x-y-5小于或等于0,求z=x^2+y^2-10y+25的最小值

Answer 1

答案是5,当x=1,y=3时表达式X^2+Y^2-10Y+25有最小值5；

这个问题应该属于线性规划求最优解的问题,把前面那三个不等式分别写成y≤x+2、y≥-x+4、y≥2x-5,然后分别在坐标平面上画出三条直线,你会发现这三条直线正好围成一个三角形,而符合要求的点正好在这个三角形内,把X^2+Y^2-10Y+25写成x^2+(y-5)^2,那么就是说X^2+Y^2-10Y+25的最小值就是那个三角形内的点到(0,5)那个点的最短距离,用观察法可以发现其实最接近(0,5)的点就是y=x+2和y=-x+4这两条直线的交点,也就是(1,3)那个点,这两点间的距离是5