高数二阶微分方程求y"+3y‘-10y=e^2x的通解答案是c1e^-3x+(c2+x/7)e^2x.请问这个x/7怎么来的?

Question

高数 二阶微分方程
求y"+3y‘-10y=e^2x的通解 答案是c1e^-3x+(c2+x/7)e^2x.请问这个x/7怎么来的?

Answer 1

对应的特征方程为 t^2+3t-10=0
特征根t1= -5,t2= 2
∴通解为yx=C1[e^(-5x)]+C2[e^(2x)]
∵y=e^2x,λ=2,t2=2有一个重根
∴设特解为y*=cxe^(2x),则y'=ce^(2x)+2cxe^(2x),y"=4ce^(2x)+4cxe^(2x)
把y',y''代入原方程得4ce^(2x)+4cxe^(2x)+3（ce^(2x)+2cxe^(2x)）- 10cxe^(2x)=e^2x
解得c= 1/7
则y*=1/7xe^(2x)
∴原方程的解为
y=yx+y*=C1[e^(-5x)]+C2[e^(2x)]+1/7xe^(2x)=C1[e^(-5x)]+[C2+1/7x]e^(2x)
答案c1e^-3x+(c2+x/7)e^2x中的c1e^-3x算错了吧
应该是C1[e^(-5x)]