已知z1z2为非零复数,且满足z1+z2的绝对值=z1-z2的绝对值,求证z2/z1的平方一定为负数

Question

已知z1 z2为非零复数,且满足z1+z2的绝对值=z1-z2的绝对值,求证z2/z1的平方一定为负数

Answer 1

由|z1+z2|=|z1-z2|
即|z1+z2|^2=|z1-z2|^2
(z1+z2)(z1'+z2')=(z1-z2)(z1'-z2'),这里z'表示为z的共轭复数
z1z2'+z2z1'=-z1z2'-z2z1'
z1z2'=-z2z1'
z2/z1=-z2'/z1',记w=z2/z1
即w=-w'
即w+w'=0
所以Re(w)=0,即w的实部为0,故w为纯虚数,因此w^2（也即z2/z1的平方）一定是负数.