数论＋集合1.证明5个相继的正整数之积不是完全平方数设n≥3,（n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)=a^2,a∈Z.注意到（n+(-)1,n)=(n,+(-)1),(n,n+(-)2)=(n,+(-)2),因而（n,(n-2)(n-1)(n+1)(n+2))=1,2或4.于是n只能是m^2,或2m^2,m∈Z.若n=m^

Question

数论＋集合
1.证明5个相继的正整数之积不是完全平方数
设n≥3,（n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)=a^2,a∈Z.注意到（n+(-)1,n)=(n,+(-)1),(n,n+(-)2)=(n,+(-)2),因而（n,(n-2)(n-1)(n+1)(n+2))=1,2或4.
于是n只能是m^2,或2m^2,m∈Z.
若n=m^2,则b=(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)=n^4-5n^2+4也是完全平方数,但（n^2-3)^2＜b＜（n^2-2）^2,矛盾.故n≠m^2.（左边的（n^2-3)^2＜b是怎么得的）
若n=2m^2,则a^2=(2m)^2*2(m^4-1)(4m^4-1).
显然由上式及2不整除（4m^4-1),所以必有2|（m^4-1) （为什么）
2.设整数x,y满足x≠-1,y≠-1,且使 (x^4-1)/(y+1) + (y^4-1)/(x+1)是整数,试证x^4*y^44-1能被x+1整除.
设a,b,c,d为整数,使得(x^4-1)/(y+1)=a/b,(y^4-1)/(x+1)=c/d,(a,b)=1,(c,d)=1,b,d≥1.则(ad+bc)/bd是整数,从而b|ad.
为什么(x^4-1)/(y+1)和(y^4-1)/(x+1)要设为分数,不可能是整数吗?还有从而b|ad我也没看懂.
3.x,y,z为正整数,满足1+4^x+4^y=z^2.于是4^x（1+4^(y-x))=(z-1)(z+1).
注意到4^y+4^x+1=2^(2y)+2^(2x)+1=(2^y+1)^2+2^(2x)-2^(y+1),若2x＞y+1,则因2不整除z,故（z-1,z+1)=2,于是知z+1,z-1中有一个可被2整除,另一个可被2^(2x-1)整除.
另一个可被2^(2x-1)整除是怎么推出的?
4.规定A1,A2,...,An为集合A的一个划分,如果
1.A1∪A2∪...∪An=A;
2.Ai∩Aj≠空集,1≤i＜j≤n.
求最小正整数m,使得对A={1,2,.,m}的任意一个14划分A1,A2,.,A14一定存在某个集合Ai中有两个元素a,b满足b＜a≤4b/3.
5.求证和式1+2^2+3^3+.+1991^1991不能表示成m^k的形式,其中m,k均为自然数,且k≥2.
证明中有一部分是这样写的：设an=n^n.
k≥3时,取4为模,数列{an(mod 4)}为由1,0,-1,0组成的周期为4的周期数列.由此推得∑an(n为1到1991的自然数）与0关于模4同余.如果∑an能表示成m^k（k≥3）的形式,则8整除∑an,后面略.
其中如果∑an能表示成m^k（k≥3）的形式,则8整除∑an 是为什么?
6.a1=a,a(n+1)=an-an^2,求{an}的通项公式.
7.一数列{un}定义为u0=2,u1=5/2,u(n+1)=un(u(n-1)^2-2)-u1,证明对自然数n,有[un]=2^{[2^n-(-1)^n]/3},前一个[ ]为高斯函数的符号.
解答中写到猜想un=2^f(n)+ 2^(-f(n)),其中f为待定函数,将其带入递推关系式得2^f(n+1)+2^(-f(n+1))=2^(f(n)+2f(n-1))+ 2 ^(-(f(n)+2f(n-1)))+2^(f(n)-2f(n-1))+2^(-(f(n)-2f(n-1)))-2^1-2^(-1),因此有函数方程f(n+1)=f(n)+2f(n-1),后面略.这里的函数方程是怎么得的?

Answer 1

以后请分开提问.
1.（左边的（n^2-3)^2＜b是怎么得的）
(n^2-3)^2=n^4-6n^2+9=b+(5-n^2)
注意到前面有“设n≥3”所以5-n^2=3,所以8|m^k
6.这题要用不动点法求
设f(x)=-x^2+x
由题意a(n+1)=f(f(f(..f(a)..))),（n个f,为了方便记作f[n](a)）
取ψ(x)=x+1/2,g(x)=-x^2
注意到f(x)=ψ^(-1){g[ψ(x)]}
f[n](a)=ψ^(-1){g[n][ψ(a)]}
代入一下就可以了