设|z1|=5，|z2|=2，|z1-.z2|=13，求.z1z2=2±32i2±32i．

Question

设|z₁|=5，|z₂|=2，|z₁-

.

z2

|=√(13)，求(.z1)/(z2)=

2±(3)/(2)i

2±(3)/(2)i

．

Answer 1

由题意得，可设 z₁=5（cosα+isinα ），z₂=2（cosβ+isinβ），

.

z

1=5[cosα-isinα]=5[cos（-α）+isin（-α）]，

.

z2

=2（cosβ-isinβ）=2[cos（-β）+isin（-β）]，z₁-

.

z2

=（5cosα-2cosβ）+i（5sinα+2sinβ）．
再由|z₁-

.

z2

|=√(13)，可得（5cosα-2cosβ）²+（5sinα+2sinβ）²=13，化简可得 cos（α+β）=(4)/(5)．
再由同角三角函数的基本关系可得 sin（α+β）=±(3)/(5)．
故 (.z1)/(z2)=(5[cos(−α)+isin(−α)])/(2(cosβ+isinβ))=(5)/(2)×[cos（-α-β）+isin（-α-β）]=(5)/(2)×[cos（α+β）-isin（α+β）]
=(5)/(2)×[(4)/(5)±(3)/(5)i]=2±(3)/(2)i
故答案为：2±(3)/(2)i．