求过三个平面2x+y-z-2=0，x-3y+z+1=0，x+y+z-3=0的交点，且平行于平面x+y+2z-2=0的平面方程．

Question

求过三个平面2x+y-z-2=0，x-3y+z+1=0，x+y+z-3=0的交点，且平行于平面x+y+2z-2=0的平面方程．

Answer 1

过三个平面交点的面束为（2x+y-z-2）+λ（x-3y+z+1）+μ（x+y+z-3）=0，
即：（2+λ+μ）x+（1-3λ+μ）y+（-1+λ+μ）z+（-2+λ-3μ）=0．①
为使的平面平行于平面x+y+2z-2=0，
则两个平面的法向量平行，
从而，(2+λ+μ)/(1)＝(1−3λ+μ)/(1)＝(−1+λ+μ)/(2)，
求解即得：λ＝(1)/(19)，μ＝(−4)/(19)．
将λ，μ的值代入①可得，
x+y+2z-4=0，
因此，所求平面为x+y+2z-4=0．