不等式选作：已知X2＋3Y2+4Z2=2求证：|X+3Y+4Z|小于等于4（后面的2是平方

Question

不等式选作： 已知X2＋3Y2+4Z2=2求证：|X+3Y+4Z|小于等于4（后面的2是平方

Answer 1

不知道你有没有学过 柯西不等式 ,此题运用柯西不等式可以直接求
证明：柯西不等式有：(X*Y+Z*W+A*B)^2 小于等于 (X^2 + Z^2 + A^2)*(Y^2 + W^2 + B^2)
要证：|X+3Y+4Z|小于等于4 即证 (X+3Y+4Z)^2 小于等于 16
(X+3Y+4Z)^2 = (1*X + √3 *√3Y + 2* 2Z )^2 小于等于 (1^2 + (√3)^2 + 2^2)(X^2 + 3Y^2 + 4Z^2)
而(1^2 + (√3)^2 + 2^2)(X^2 + 3Y^2 + 4Z^2) = (1+ 3 +4)*2=16
所以(X+3Y+4Z)^2 小于等于 16
即 ：|X+3Y+4Z|小于等于4
如果你没有学过柯西不等式,那么你也可以用构造法来解此题,构造 一元二次方程的判别式：
∧=b^2-4ac ,其中 b=X+3Y+4Z ,a=1/4*(1^2 + (√3)^2 + 2^2),c=(X^2 + 3Y^2 + 4Z^2)
通过一元二次方程恒大于等于0,可得判别式 恒大于等于0,事实上,柯西不等式的证明和得来也是通过上述构造法得到的,你可以看下相关方面的书籍,很有用的方法