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求方程x2+y2+z2-2x-4y-6z-2=0所确定的函数z=f(x,y)的极大值和极小值
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求方程x2+y2+z2-2x-4y-6z-2=0所确定的函数z=f(x,y)的极大值和极小值
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答案和解析
方程x²+y²+z²-2x-4y-6z-2=0
对x求导得
2x+2zəz/əx-2-6əz/əx=0
=> əz/əx=(1-x)/(z-3)
对y求导得
2y+2zəz/əy-4-6əz/əx=0
=> əz/əy=(2-y)/(z-3)
令əz/əx=əz/əy=0,得
x=1,y=2,∴(1,2)是z的唯一极值点
代入原方程得 z²-6z-7=0 => z=7或-1
∴z的极大值为7,极小值为-1
对x求导得
2x+2zəz/əx-2-6əz/əx=0
=> əz/əx=(1-x)/(z-3)
对y求导得
2y+2zəz/əy-4-6əz/əx=0
=> əz/əy=(2-y)/(z-3)
令əz/əx=əz/əy=0,得
x=1,y=2,∴(1,2)是z的唯一极值点
代入原方程得 z²-6z-7=0 => z=7或-1
∴z的极大值为7,极小值为-1
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