设实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2=1,求证:-7≤2x-3y+6z≤7

Question

设实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2=1,求证:-7≤2x-3y+6z≤7

Answer 1

证明：
引理：
|ax+by+cz|<=√[(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)]
证明：由绝对值不等式：|ax+by+cz|<=|ax|+|by|+|cz|=|a||x|+|b||y|+|c||z|
再由柯西不等式|a||x|+|b||y|+|c||z|<=√[(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)]
引理证毕.
回到原题.用引理我们有：
|2x-3y+6z|<=√[(2^2+(-3)^2+6^2)(x^2+y^2+z^2)]=√(4+9+36)=√49=7
{注：这里也利用了x^2+y^2+z^2=1}
于是有|2x-3y+6z|<=7
所以-7≤2x-3y+6z≤7
得证.