已知正数x,y,z,满足x^2+4y^2+9z^2=3,求25/（4yz+3xy）+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)的最小值已知正数x,y,z,满足x^2+4y^2+9z^2=3，求25/（4yz+3xz）+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)的最小值,标题上的打错了

Question

已知正数x,y,z,满足x^2+4y^2+9z^2=3,求25/（4yz+3xy）+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)的最小值
已知正数x,y,z,满足x^2+4y^2+9z^2=3，求25/（4yz+3xz）+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)的最小值,标题上的打错了

Answer 1

令a=x,b=2y,c=3z
则由题意有 abc均正 且 平方和为3
原式f=5^2/(3分之2bc+ac) + 6^2/(ab+ac) + 7^2/(3分之4bc+ab)
由柯西不等式
f*[(3分之2bc+ac) +(ab+ac) + (3分之4bc+ab)] >= (5+6+7)^2
即f*(2ab+2ac+2bc)>=18^2=324
故f>=324/(2ab+2ac+2bc)
再由柯西不等式知
(ab+bc+ca)^2=324/(2ab+2ac+2bc)>=324/6=54
第二个等号成立条件为a=b=c=1 也即x=1,y=1/2,z=1/3
此时第一个不等式也取等号
最小值为54