已知函数f（x）=x-a(x+a)2．（Ⅰ）若f′（a）=1，求a的值；（Ⅱ）设a≤0，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）<f（x1），求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(x-a)/((x+a)2)．
（Ⅰ）若f′（a）=1，求a的值；
（Ⅱ）设a≤0，若对于定义域内的任意x₁，总存在x₂使得f（x₂）<f（x₁），求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） 函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R且x≠-a}，
由题意，f′（a）有意义，所以a≠0．
求导，得f′（x）=-((x+a)(x-3a))/((x+a)4)．…（3分）
所以f′（a）=(1)/(4a2)=1，解得：a=±(1)/(2)．…（5分）
（Ⅱ） “对于定义域内的任意x₁，总存在x₂使得f（x₂）<f（x₁），
等价于“f（x）不存在最小值”．                            …（6分）
①当a=0时，
由f（x）=(1)/(x)，得f（x）无最小值，符合题意．                    …（8分）
②当a<0时，
令f′（x）=0，得x=-a 或x=3a．…（9分）
随着x的变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，3a）	3a	（3a，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+	不存在	-
f（x）	↘	极小	↗	不存在	↘

…（11分）
所以函数f（x）的单调递减区间为（-∞，3a），（-a，+∞），单调递增区间为（3a，-a）．
因为当x>a时，f（x）=(x-a)/((x+a)2)>0，当x<a时，f（x）<0，所以f（x）_min=f（3a）．
所以当x₁=3a时，不存在x₂使得f（x₂）<f（x₁）．
综上所述，a的取值范围为a∈{0}．…（13分）