（2014•孝感）已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）试说明x1＜0，x2＜0；（3）若抛物线y=x2-（2k-3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原

Question

（2014•孝感）已知关于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）试说明x₁＜0，x₂＜0；
（3）若抛物线y=x²-（2k-3）x+k²+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB-3，求k的值．

Answer 1

（1）由题意可知：△=[-（2k-3）]²-4（k²+1）＞0，
即-12k+5＞0                 
∴k＜(5)/(12)．                             

（2）∵

x1+x2＝2k−3＜0

x1x2＝k2+1＞0

，
∴x₁＜0，x₂＜0．                        

（3）依题意，不妨设A（x₁，0），B（x₂，0）．
∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=-（x₁+x₂）=-（2k-3），
OA•OB=|-x₁||x₂|=x₁x₂=k²+1，
∵OA+OB=2OA•OB-3，
∴-（2k-3）=2（k²+1）-3，
解得k₁=1，k₂=-2．                   
∵k＜(5)/(12)，
∴k=-2．