已知函数f（x）=2-|x|，x≤2(x-2)2，x>2，函数g（x）=b-f（2-x），其中b∈R．若函数y=f（x）-g（

Question

已知函数f（x）=

2-|x|，x≤2

(x-2)2，x>2

，函数g（x）=b-f（2-x），其中b∈R．若函数y=f（x）-g（x）恰有2个零点，则b的取值范围是___．

Answer 1

∵g（x）=b-f（2-x），
∴y=f（x）-g（x）=f（x）-b+f（2-x），
由f（x）-b+f（2-x）=0，得f（x）+f（2-x）=b，
设h（x）=f（x）+f（2-x），
若x≤0，则-x≥0，2-x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2-x）=2+x+x²，
若0≤x≤2，则-2≤-x≤0，0≤2-x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2-x）=2-x+2-|2-x|=2-x+2-2+x=2，
若x>2，-x<-2，2-x<0，
则h（x）=f（x）+f（2-x）=（x-2）²+2-|2-x|=x²-5x+8．
即h（x）=

x2+x+2，x≤0

2，0<x≤2

x2-5x+8，x>2

，
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）=2+x+x²=（x+(1)/(2)）²+(7)/(4)≥(7)/(4)，
当x>2时，h（x）=x²-5x+8=（x-(5)/(2)）²+(7)/(4)≥(7)/(4)，
故当b=(7)/(4)时，h（x）=b，有两个交点，
当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）-g（x）恰有2个零点，
即h（x）=b恰有2个根，
则满足2<b，b=(7)/(4)
故答案为：2<b，b=(7)/(4)．