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证明关系式：（1+x）^1/2=1+x/2+o(x)(x→0)
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证明关系式：（1+x）^1/2=1+x/2+o(x)(x→0)
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答案和解析
证明关系式：（1+x）^1/2=1+(1/2)x+o(x)(x→0)
证明：将f(x)=√(1+x)在x=0处展成泰勒级数：
√(1+x)=1+(1/2)x-1/(2×4)x²+[(1×3)/(2×4×6)]x³-[(1×3×5)/(2×4×6×8)]x⁴+.
取前两项,即取√(1+x)=1+(1/2)x时,后面所有各项之和的绝对值在x→0的极限=0；
即x→0lim∣-1/(2×4)x²+[(1×3)/(2×4×6)]x³-[(1×3×5)/(2×4×6×8)]x⁴+.∣/x
=x→0lim∣-1/(2×4)x+[(1×3)/(2×4×6)]x²-[(1×3×5)/(2×4×6×8)]x³+.∣=0
即余项之和的绝对值∣R₃∣满足x→0lim∣R₃∣/x=0,也就是∣R₃∣是比x高阶的无穷小.
故有（1+x）^1/2=1+(1/2)x+o(x)(x→0)
证明：将f(x)=√(1+x)在x=0处展成泰勒级数：
√(1+x)=1+(1/2)x-1/(2×4)x²+[(1×3)/(2×4×6)]x³-[(1×3×5)/(2×4×6×8)]x⁴+.
取前两项,即取√(1+x)=1+(1/2)x时,后面所有各项之和的绝对值在x→0的极限=0；
即x→0lim∣-1/(2×4)x²+[(1×3)/(2×4×6)]x³-[(1×3×5)/(2×4×6×8)]x⁴+.∣/x
=x→0lim∣-1/(2×4)x+[(1×3)/(2×4×6)]x²-[(1×3×5)/(2×4×6×8)]x³+.∣=0
即余项之和的绝对值∣R₃∣满足x→0lim∣R₃∣/x=0,也就是∣R₃∣是比x高阶的无穷小.
故有（1+x）^1/2=1+(1/2)x+o(x)(x→0)
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