试确定A，B，C的值，使得ex（1+Bx+Cx2）=1+Ax+o（x3），其中o（x3）是当x→0时比x3高阶的无穷小．

Question

试确定A，B，C的值，使得e^x（1+Bx+Cx²）=1+Ax+o（x³），其中o（x³）是当x→0时比x³高阶的无穷小．

Answer 1

利用皮亚诺型泰勒公式可得：
e^x=1+x+(x2)/(2)+(x3)/(6)+o（x³），
代入已知等式得：
[1+x+(x2)/(2)+(x3)/(6)+o（x³）]（1+bx+Cx²）=1+Ax+o（x³），
整理得：
1+（B+1）x+（C+B+(1)/(2)）x²+（(B)/(2)+C+(1)/(6)）+o（x³）=1+Ax+o（x³），
比较两边同次幂函数得：
B+1=A     ①
C+B+(1)/(2)=0   ②
(B)/(2)+C+(1)/(6)=0 ③
式②-③得：
(B)/(2)+(1)/(3)=0，
则：B=−(2)/(3)，
代入①得：A=(1)/(3)，
代入②得：C=(1)/(6)．
故：A=(1)/(3)，B=−(2)/(3)，C=(1)/(6)．