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设函数f(x)=x3+3x2+6x+14,且f(a)+f(b)=20,则a+b=.
题目详情
设函数f(x)=x3+3x2+6x+14,且f(a)+f(b)=20,则a+b=______.
▼优质解答
答案和解析
∵f(x)=x3+3x2+6x+14
∴f(x)=(x+1)3+3(x+1)+10
∵f(a)+f(b)=20
∴(a+1)2+3(a+1)+(b+1)2+3(b+1)=0①
令F(x)=x3+3x,,
则F(-x)=-F(x)
∴F(x)为奇函数
∴①式可变为F(a+1)=-F(b+1)
即F(a+1)=F(-b-1)
∵F(x)=x3+3x为单调递增函数
∴a+1=-b-1
∴a+b=-2
故答案为-2
∴f(x)=(x+1)3+3(x+1)+10
∵f(a)+f(b)=20
∴(a+1)2+3(a+1)+(b+1)2+3(b+1)=0①
令F(x)=x3+3x,,
则F(-x)=-F(x)
∴F(x)为奇函数
∴①式可变为F(a+1)=-F(b+1)
即F(a+1)=F(-b-1)
∵F(x)=x3+3x为单调递增函数
∴a+1=-b-1
∴a+b=-2
故答案为-2
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