已知x1,x2,x3……xn均为1或-1,且x1x2x3x4+x2x3x4x5+……+xnx1x2x3=0,n的最小值是多少

Question

已知x1,x2,x3……xn均为1或-1,且x1x2x3x4+x2x3x4x5+……+xnx1x2x3=0,n的最小值是多少

Answer 1

证明:因为X1X2X3X4+X2X3X4X5+……+XnX1X2X3=0 (1)
又因为:
X1,X2,X3,X4,X5……+Xn都是＋1或－1
所以(1)式的左边共有N项,且每一项都是＋1或－1,
而它们的和为0,
所以,(1)式的左边比然是＋1和－1的个数相等;
设＋1和－1各有K个
则N=2K;
将(1)式左边的每一项相乘得:
(X1X2X3X4)×(X2X3X4X5)×……×(XnX1X2X3)
=(
X1X2X3X4
X5×……×Xn)^4=1
即(－1)^K=1
即－1的K次方是1
所以K=2M
又因N=2K
所以N=4M
即N是4的倍数
所以n得最小值是4
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