已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为．

Question

已知y₁=xe^x+e^2x，y₂=xe^x+e^-x，y₃=xe^x+e^2x-e^-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为______．

Answer 1

由题意，有y1−y3＝e−x是齐次微分方程的解，
因而y2−e−x＝xex为非齐次的解，
因此y1−xex＝e2x为齐次的解
这样就得到齐次微分方程的两个线性无关的解e^-x、e^2x
且xe^x为非齐次的一个特解
∴特征方程为：（r+1）（r-2）=r²-r-2=0
∴所求方程对应的齐次微分方程为：
y″-y′-2y=0
再由xe^x为非齐次的一个特解，代入到
y″-y′-2y=f（x）
得f（x）=（1-2x）e^x
∴所求方程为y″-y′-2y=（1-2x）e^x