已知抛物线y^2=2px……追加已知抛物线y^2=2px,p>0O为顶点,A（x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上的两动点,且OA垂直于OB,C为AB中点,求C点的轨迹方程

Question

已知抛物线y^2=2px……追加
已知抛物线y^2=2px,p>0 O为顶点,A（x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上的两动点,且OA垂直于OB,C为AB中点,求C点的轨迹方程

Answer 1

设C（x,y）
因C为AB中点
故x1+x2=2x ①
y1+y2=2y ②
因OA垂直于OB
即向量OA垂直于向量OB
OA·OB=0
即x1x2+y1y2=0 ③
因A,B在抛物线上
故y1^2=2px1,y2^2=2px2
消去x1,x2
得：(y1y2)²/(4p)²+y1y2=0
显然y1y2≠0
故(y1y2)/(4p)²+1=0
即y1y2=-4p²
这样2x=x1+x2=（y1^2+y2^2）/(2p)
=[（y1+y2）^2-2y1y2]/(2p)
=(4y²+8p²)/(2p)
整理即得：
y²+p²=px
即C点的轨迹方程为y²+p²=px