∫D∫|x^2+y^2-2|dσ,其中D:x^2+y^2

Question

∫D∫|x^2+y^2-2|dσ ,其中D :x^2+y^2

Answer 1

将区域D分为两部分：
D1：x²+y²≤2,D2：2≤x²+y²≤3
在D1内：
∫∫ |x²+y²-2| dxdy
=∫∫ (2-x²-y²) dxdy
=∫∫ (2-r²)r drdθ
=∫[0→2π]dθ∫[0→√2] (2r-r³) dr
=2π(r²-(1/4)r⁴) |[0→√2]
=2π
在D2内：
∫∫ |x²+y²-2| dxdy
=∫∫ (x²+y²-2) dxdy
=∫∫ (r²-2)r drdθ
=∫[0→2π]dθ∫[√2→√3] (r³-2r) dr
=2π((1/4)r⁴-r²) |[√2→√3]
=2π(9/4-3-1+2)
=π/2
因此原式=2π+π/2=5π/2