一个标准椭圆上任意2点和原点组成的三角形面积最大是多少?最好有简要过程.x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)

Question

一个标准椭圆上任意2点和原点组成的三角形面积最大是多少?
最好有简要过程.x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)

Answer 1

设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上任意两点,则直线OA方程为y/x=y1/x1,即y1x-x1y=0
根据点到直线距离公式,点B(x2,y2)到直线OA的距离d=|y1x2-x1y2|/√(y1²+x1²)
△AOB的面积S=|OA|*d/2
=[√(y1²+x1²)*|y1x2-x1y2|/√(y1²+x1²)]/2
=|y1x2-x1y2|/2
∵点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是椭圆上两点,∴两点坐标可以写成如下形式：
x1=acosα,y1=bsinα,x2=acosβ,y2=bsinβ,代入面积可得：
S=|y1x2-x1y2|/2
=|bsinα*acosβ-acosα*bsinβ|/2
=|sinαcosβ-cosαsinβ|*(ab/2)
=|sin(α-β)|*(ab/2)≤ab/2