已知椭圆x2/3+y2/2=1的左右焦点分别为f1,f2.（x的平方/3）过f1的直线交椭圆于B,D两点,过f2的直线交椭圆于A,C两点,且AC垂直BD,垂足为P,（1）设P的坐标为（x0,y0）,证明x02/3+y02/2小于1（x0的平方）/3（2

Question

已知椭圆x2/3+y2/2=1的左右焦点分别为f1,f2.（x的平方/3）
过f1的直线交椭圆于B,D两点,过f2的直线交椭圆于A,C两点,且AC垂直BD,垂足为P,
（1）设P的坐标为（x0,y0）,证明x02/3+y02/2小于1（x0的平方）/3
（2）求四边形ABCD的最小面积

Answer 1

证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距c= 3-2 =1,
由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,
所以,x 22 3 +y 20 2 ≤x 20 2 +y 20 2 =1 2 ＜1．
（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k（x+1）,
代入椭圆方程x2 3 +y2 2 =1,并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2-6=0．
设B（x1,y1）,D（x2,y2）,则x1+x2=-6k2 3k2+2 ,x1x2=3k2-6 3k2+2 |BD|= 1+k2 •|x1-x2|= (1+k2)•[(x2+x2)2-4x1x2] =4 3 (k2+1) 3k2+2 ；
因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为-1 k ,
所以,|AC|=4 3 (1 k2 +1) 3×1 k2 +2 =4 3 (k2+1) 2k2+3 ．
四边形ABCD的面积S=1 2 •|BD||AC|=24(k2+1)2 (3k2+2)(2k2+3) ≥24(k2+1)2 [(3k2+2)+(2k2+3) 2 ]2 =96 25 ．
当k2=1时,上式取等号．
（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4．
综上,四边形ABCD的面积的最小值为96/25 ．