如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x-1）2+y2=14于点A，B，C，D四点，则9|AB|+4|CD|的最小值为．

Question

如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x-1）²+y²= (1)/(4)于点A，B，C，D四点，则9|AB|+4|CD|的最小值为___．

Answer 1

∵y²=4x，焦点F（1，0），准线 l₀：x=-1
由定义得：|AF|=x_A+1，
又∵|AF|=|AB|+(1)/(2)，∴|AB|=x_A+(1)/(2)
同理：|CD|=x_D+(1)/(2)，
当l⊥x轴时，则x_D=x_A=1，∴9|AB|+4|CD|=(39)/(2)．
当l：y=k（x-1）时，代入抛物线方程，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x_Ax_D=1，x_A+x_D=1，
∴9|AB|+4|CD|=(13)/(2)+9xA+4xD≥(13)/(2)+2√(4×9xAxD)=(37)/(2)．
综上所述4|AB|+9|CD|的最小值为(37)/(2)．
故答案为：(37)/(2)．