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设过(0,2)的直线与x^2/4+y^2=1交于pq当三角形opq面积最大时直线方程
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设过(0,2)的直线与x^2/4+y^2=1交于pq当三角形opq面积最大时直线方程
▼优质解答
答案和解析
原题是:设过(0,2)的直线与x^2/4+y^2=1交于P、Q,求△OPQ面积最大时直线方程.
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
△OPQ面积最大时直线方程是y=kx+2.
则△OPQ面积
S=(1/2)|x1*y2-x2*y1| (向量法求三角形面积公式）
=(1/2)|x1*(kx2+2)-x2*(kx1+2)|
=|x1-x2|
由 y=kx+2 和 x^2/4+y^2=1消去y并化简得
(2k^2+1)x^2+8kx+4=0
当△=(8k)^2-16(2k^2+1)=16(2k^2-1)>0
即 k^2>1/2 时
S=|x1-x2|=(√△)/(2k^2+1)
=4(√(2k^2-1))/(2k^2+1)
设u=√(2k^2-1) 则u>0
S=4u/(u^2+2)=4/(u+2/u)
当u=2/u u^2=2
即 k=±(√6)/2时,S有最大值√2.
所求直线方程是 (√3)x-(√2)y+2√2=0 或 (√3)x+(√2)y-2√2=0
希望对你有点帮助!
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
△OPQ面积最大时直线方程是y=kx+2.
则△OPQ面积
S=(1/2)|x1*y2-x2*y1| (向量法求三角形面积公式）
=(1/2)|x1*(kx2+2)-x2*(kx1+2)|
=|x1-x2|
由 y=kx+2 和 x^2/4+y^2=1消去y并化简得
(2k^2+1)x^2+8kx+4=0
当△=(8k)^2-16(2k^2+1)=16(2k^2-1)>0
即 k^2>1/2 时
S=|x1-x2|=(√△)/(2k^2+1)
=4(√(2k^2-1))/(2k^2+1)
设u=√(2k^2-1) 则u>0
S=4u/(u^2+2)=4/(u+2/u)
当u=2/u u^2=2
即 k=±(√6)/2时,S有最大值√2.
所求直线方程是 (√3)x-(√2)y+2√2=0 或 (√3)x+(√2)y-2√2=0
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