x3+19y=y3+19x,x,y为互不相等的自然数,求(x2+y2)^1/2的整数部分

Question

x3+19y=y3+19x,x,y为互不相等的自然数,求(x2+y2)^1/2的整数部分

Answer 1

x^3+19y=y^3+19x
x^3-y^3=19(x-y)
(x-y)(x^2+xy+y^2)=19(x-y)
因为x,y不等
x-y不为0
x^2+xy+y^2=19
y^2+xy+(x^2-19)=0
这是一条关于y的二次函数,因为该函数有自然数解
x^2-4(x^2-19)=76-3x^2是完全平方数
所以x可取2,3,5
又因为当x=5时y<0
故x=2,y=3或x=3,y=2
(x2+y2)^1/2=13^1/2
(x2+y2)^1/2的整数部分为3