已知：x+y+z=1，x2+y2+z2=2，x3+y3+z3=3，试求：（1）xyz的值；（2）x4+y4+z4的值．

Question

已知：x+y+z=1，x²+y²+z²=2，x³+y³+z³=3，试求：
（1）xyz的值；
（2）x⁴+y⁴+z⁴的值．

Answer 1

（1）由条件可得 （x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz）=1，
即 1=2+2（xy+yz+xz），∴xy+yz+xz=-(1)/(2)．
再根据 x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），
即3-3xyz=2+(1)/(2)，∴xyz=(1)/(6)．
（2）由题意可得 （x²+y²+z²）²=x⁴+y⁴+z⁴+2x²•y²+2y²•z²+2x²•z²=4，
∴x⁴+y⁴+z⁴ =4-2（x²•y²+y²•z²+x²•z²  ）．
由于（x²•y²+y²•z²+x²•z²  ）=（xy+yz+xz）²-2xyz（x+y+z）=(−(1)/(2))2-2×(1)/(6)×1=-(1)/(12)，
∴x⁴+y⁴+z⁴ =4-2×（-(1)/(12)）=(25)/(6)．