设a1,a2,...a2010均为正实数,且1/(2+a1)+1/(2+a2)+...+1/(2+a2010)=1/2,则a1*a2*...*a2010的最小值是（）

Question

设a1,a2,...a2010均为正实数,且1/(2+a1)+1/(2+a2)+...+1/(2+a2010)=1/2,则a1*a2*...*a2010的最小值是（）

Answer 1

a1^2/(2+a1)=a1-2+4/(2+a1),
∑a1^2/(2+a1)=∑[a1-2+4/(2+a1)]=4019+4∑1/（2+a1）.
1/(2+a1)+1/(2+a2)=(4+a1+a2)/[4+2(a1+a2)+a1a2]
>=(4+a1+a2)/[4+2(a1+a2)+(a1+a2)^2/4]
=2*[2+(a1+a2)/2]/[2+(a1+a2)/2]^2
=2*1/[2+(a1+a2)/2],
依此类推,2^11=2048,令a2011=a2012=……=a2048=1/2010.
对这2048个正数,反复用上述结论,就得到供题者想要的结论.
还可以利用f(x)=1/(2+x)(x>0)是下凸函数,直接得出结论