在三棱锥ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是棱AB，BC，B1C1的中点．（1）证明：A1B1⊥平面PMN；（2

Question

在三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是棱AB，BC，B₁C₁的中点．

（1）证明：A₁B₁⊥平面PMN；
（2）求三棱锥P-A₁MN的体积．

Answer 1

（1）∵三棱柱的正视图和侧视图是边长为1正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，AB=AC=AA₁=1，AB⊥AC，
∵点M，N，P分别是棱AB，BC，B₁C₁的中点．
∴MN⊥AB，A₁B₁⊥PM，∵A₁B₁∥AB，
∴A₁B₁⊥MN，∵PM∩MN=M，PM⊂平面PMN，MN⊂平面PMN，
∴A₁B₁⊥平面PMN．
（2）连结A₁M，A₁N，
∵PM∥A₁A，MN∥AC，∴∠PMN=∠A₁AC=90°，
∴V 棱锥P-A1MN=V 棱锥A1-PMN=(1)/(3)•S_△PMN•A₁P=(1)/(3)×(1)/(2)×PM×MN×A1P=(1)/(3)×(1)/(2)×1×(1)/(2)×(1)/(2)=(1)/(24)．