已知Sn=（a1+an）n/2,求证{an}为等差数列

Question

已知Sn=（a1+an）n/2,求证{an}为等差数列

Answer 1

证明：由题意知,知道Sn,必定用an=Sn- Sn-1 n>1
a1=S1
代入Sn知,a1=S1恒成立
an=Sn- Sn-1 n>1时,有an=(a1+an)n/2-(a1+an-1)（n-1）/2
不妨再写一项：an+1=(a1+an+1)（n+1）/2-(a1+an)n/2
化简两式,上式减下式得到（n-1）（an+1+an-1-2an）=0
因为 n>1,所以an+1+an-1-2an=0
移项得到an+1+an-1=2an （n>1）
所以｛an｝为等差数列.