数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n-1，则a12+a22+a32+…+an2等于（）A.（3n-1）2B.12(9n−1)C.9n-1D.14(3n−1)

Question

数列{a_n}中，已知对任意n∈N^*，a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于（　　）
A. （3ⁿ-1）²
B. (1)/(2)(9n−1)
C. 9ⁿ-1
D. (1)/(4)(3n−1)

Answer 1

∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，①
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n+1=3ⁿ⁺¹-1，②
②-①得：a_n+1=3ⁿ⁺¹-3ⁿ=2×3ⁿ，
∴a_n=2×3^n-1．
当n=1时，a₁=3¹-1=2，符合上式，
∴a_n=2×3^n-1．
∴an2=4×9^n-1，
∴a12=4，(an+12)/(an2)=9，
∴{an2}是以4为首项，9为公比的等比数列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=(4×(1−9n))/(1−9)=(1)/(2)（9ⁿ-1）．
故选B．