已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+52，a11成等比数列．（1）求an的通项公式．（2）令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1，求Tn．

Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，且a₃，a₄+(5)/(2)，a₁₁成等比数列．
（1）求a_n的通项公式．
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求T_n．

Answer 1

（1）记等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=1可知，
a₃=1+2d，a₄+(5)/(2)=1+3d+(5)/(2)=(7)/(2)+3d，a₁₁=1+10d，
又∵a₃，a₄+(5)/(2)，a₁₁成等比数列，
∴((7)/(2)+3d)2=（1+2d）（1+10d），
整理得：11d²-9d-(45)/(4)=0，
解得：d=(3)/(2)或d=-(15)/(22)（舍），
∴数列{a_n}的是首项为1、公差为(3)/(2)的等差数列，
故其通项公式a_n=1+(3)/(2)（n-1）=(3)/(2)n-(1)/(2)；
（2）由（1）可知a_n=(3)/(2)n-(1)/(2)，a_2n=3n-(1)/(2)，a_2n+1-a_2n-1=3，
∴T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1
=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1
=（a₃-a₁）a₂+（a₅-a₃）a₄+…+（a_2n+1-a_2n-1）a_2n
=3（a₂+a₄+…+a_2n）
=3（a₂+a₄+…+a_2n）
=3•(n(3-(1)/(2)+3n-(1)/(2)))/(2)
=(9)/(2)n²+3n．